绚丽肥皂泡背后的令人惊艳的数学之美(2)
3、 开尔文问题的新进展
2009年,英国巴斯大学博士鲁杰罗加布莱利发表论文说,他发现了开尔文问题的一种新解答。他提出的结构由4种不同的“泡泡”组成,其小单元接触界面也小于开尔文结构的接触界面,虽然还无法超越“水立方泡泡”结构的接触界面,但这是一种新思路,很可能会在将来突破相关纪录。巴斯大学发布的新闻公报说,加布莱利的发现不仅是数学领域的一项进展,还将有助于研发人造骨骼等材料的最优结构。
C.曲面细分&极小曲面
在数学中,极小曲面是指平均曲率为零的曲面。举例来说,满足某些约束条件的面积最小的曲面。物理学中,由最小化面积而得到的极小曲面的实例可以是沾了肥皂液后吹出的肥皂泡。肥皂泡的极薄的表面薄膜称为皂液膜,这是满足周边空气条件和肥皂泡吹制器形状的表面积最小的表面。
20 世纪50 年代,新设计学派提出的“极小曲面”理念开创了现代张拉膜结构设计的先河。基于这种理论,对于特定边界条件得到的膜结构表面积最小,从而耗能最少。这类膜建筑的主要结构特点是预应力在整个结构中均匀分布。例如,东京街头景观——极小曲面亭、纽约科学馆中的极小曲面华盖、德国boxel实验馆中由2000 多个啤酒箱组成的极小曲面和厦门园博园中的极小曲面建筑。
可以说现代的一些建筑师喜欢做曲面的建筑,为了降低成本,通常的做法往往是化曲为直,用种类有限而数量巨大的多边形来拼合出外表皮。这是蕴含着极其复杂的算法的,通常是各大曲面设计所的核心机密,算法好坏的一个评判标准是表皮的流畅程度。
慕尼黑奥运会场馆:
事实上,肥皂泡还有重要的科学背景。2013 年,美国科学新闻网站 刊登出了由世界各国科学家们鼎力推荐的十大影响世界文明进程的“魅力方程”,极小曲面方程便在其中。“这个方程在某种程度上解释了人们吹出的那些肥皂泡的秘密。”美国数学家、首届美国国家杰出教学奖获得者Frank Morgan 在推荐时表示,这个非线性方程描述了美丽肥皂泡背后的数学。肥皂泡蕴含的极小曲面问题与偏微分方程、微分几何、复变函数、变分法、拓扑学等多个方向都有着十分重要的联系,向人们展示了曲面的美感和几何的魅力。
2019年阿贝尔奖揭晓,挪威科学与文学院公布年度阿贝尔奖获结果。获奖者是来自美国德州大学的教授凯伦乌伦贝克(Karen Uhlenbeck),也是该奖自2003年设立以来的首位女性获奖者。奖项表彰她在“几何偏微分方程、规范理论和可积系统的开创性贡献,以及她在分析、几何和数学物理领域的工作上的深远影响。”
凯伦乌伦贝克因其在几何分析和规范理论方面的基础工作获得了 2019 年的阿贝尔奖,她的贡献显著改变了数学领域。她的理论彻底改变了我们对于极小曲面(minimal surface)的理解,例如肥皂泡的曲面,以及更为广泛、更高维度的最小化问题。'阿贝尔奖委员会主席 Hans Munthe-Kaas 表示。
‘肥皂泡'是数学家称之为优化问题的一个例子,这些问题通常非常困难且不知道有多少个解。‘你可以提出这样一个问题,你在 n 维空间中有一个肥皂泡,'乌伦贝克介绍道,‘事先你不知道肥皂泡的最小形状会是什么。'
宇宙经常是懒惰的,总会寻求能耗最少的解决方案。在平面中,我们可以简单地说明优化问题:两点之间的最短距离是直线。即使在像地球这样的曲面上,问题也有一个简单的答案——一个被称为大圆的弧。但在肥皂泡中——三维空间中的二维表面——问题就会变得复杂。为了使表面张力最小化,气泡会形成具有最小面积的形状——球体。当两个或多个气泡彼此接触,或在扭曲的金属环内部形成肥皂膜时,气泡的形状会变得更复杂,但仍遵循最小面积的规律。
目前,充气和薄膜结构使用的范围愈来愈广,从充气屋顶、充气大厅、充气枕头、充气床到充气玩具,不一而足。薄膜结构也日益扩展它的市场,古老的油布伞、船上的帆都可以看作这类薄膜结构,现在薄膜屋顶、薄膜帐篷用得也很普及。
D.拓扑学中应用
查看一下全世界任意一个城市的任何一张地铁线路图,你发现了什么?不像地图册里那些显示了一条路所有拐弯线路的地图,地铁线路图相对简单,只有直线、圆圈和平滑的曲线(可以参考伦敦、北京或华盛顿特区的地铁线路图),但地铁实际的运行线路并非这么简单,站与站之间要经过一系列的弯道。尽管如此,地铁线路图依然能帮助乘客导航。为什么它遗漏了这么多信息,却还能导航?
文章来源:《应用数学学报》 网址: http://www.yysxxbzz.cn/zonghexinwen/2022/0131/1579.html