数学是所有科学的女王,如果你打算放弃数学,(2)
实分析。在微积分发明后的几个世纪里,人们开始注意到,很多我们认为理所当然的关于微积分和实数的事情并不真实。例如,一个函数在任何地方都是连续的并不意味着它在任何地方都是光滑的。这些假设导致了一些证明,这些证明声称可以证明所有具有某种属性的函数(如所有连续函数)的定理,但只适用于部分函数(如所有利普希茨连续函数)。为了解决这些混乱的问题,人们想出了实分析。这是一个重要的领域,它为所有的微积分提供了论证。
- 弄清图片中湍流背后的数学原理,就能得一百万美元。
我们什么时候会用到实分析?
实分析在告诉你一个函数到底有多好,这对于确定你可以用什么技术来解决一个问题,以及这个问题是否可以解决是很有用的。作为一个典型的例子,纳维尔-斯托克斯方程构成了流体力学的基础,类似于麦克斯韦方程构成了电磁学的基础。
改变世界的方程之纳维尔-斯托克斯方程,堪称最难的物理学方程
麦克斯韦方程,19世纪最伟大的发现之一,现代物理学的基础支柱
与麦克斯韦方程不同,我们尚未证明纳维-斯托克斯方程在任何初始条件下都存在光滑解。证明或否定纳维-斯托克斯方程总是有光滑的解,是物理学中最大的未决问题之一。实分析和函数分析(建立在实分析的基础上)对于理解和解决这个问题是必要的。
对于那些不是数学物理学家的人来说,你可能不会从实分析中得到那么多。现实世界中的常见函数往往是“良好”的,所以你通常可以假设有人已经在背后做了实分析的工作。
复分析
- 黎曼zeta函数图
当人们(例如柯西)在研究实分析时,也在研究复分析,复分析将实函数扩展到复平面。实分析和复分析之间的一个重要区别是,复分析对它所处理的函数种类更加“挑剔”。
虽然这种挑剔性限制了复分析可以处理的函数,,但它可以对它可以处理的函数做更多的事情。例如,它允许你做一些在实线上很难做的积分。
我们什么时候会用到复分析?
复分析出现在许多你意想不到的地方。想知道素数的分布吗?你需要找出黎曼Zeta函数的零点。想找到一种方法来稳定一个不稳定的系统?你需要找到一些方法,将系统的传递函数的极点向左移动。像拉普拉斯变换、傅里叶变换、传递函数和z-变换这样的概念要依靠复分析来理解。
现代/抽象代数
这个领域研究符号和对符号的运算。在这个领域出现的一般问题是,如果你有一个物体,你对这个物体进行了一系列的操作,你能找到一些方法来 "撤销 "这些操作吗?你能解出一个给定的x方程式吗?你可能习惯于x是一个实数或复数,你有一些多项式方程,如x^2 - 2x + 5 = 0,但如果x和所有的乘法,加法,减法的结果都只能是0到10之间的数字呢?在这种情况下,你要处理的是11阶的有限域。特别值得注意的是阶为2的有限域,它是计算机的基础,因为你可以把加法变成排他性或门,把乘法变成和门。
我们什么时候会用到抽象代数?
现代代数有许多子领域(如群论、线性代数),并与其他领域(如代数拓扑学和代数数论)有交集,这使得有点难以单独谈论它。由于线性代数是一门独立的课程,我将在其章节中谈论它。
假设有人交给你一个分子,你想预测它的特性。你可以看几个特征,比如键的类型、组成原子的质量、自由电子的分布等等。这些特征之一是由分子显示的所有对称性组成。要研究它们需要抽象代数。
魔方不需要介绍。在电影《当幸福来敲门》中,解开魔方的能力是一种挑战,只有智力高超的人才能做到。在现实生活中,任何人都可以通过记住一些算法来复原魔方。但是,你会如何找到这些算法?第一步应该是想出一个数学模型。在这种情况下,如果你把每个旋转看作是一个运算,那么解魔方就相当于 "撤销 "旋转,这意味着你可以在这个问题上使用抽象代数的工具。
文章来源:《应用数学学报》 网址: http://www.yysxxbzz.cn/zonghexinwen/2021/1031/1344.html