数学竞赛活动全民化、低龄化?究竟是选拔人才(2)
又比如,数学竞赛题常常要求学生站在更高的层次,识别和使用数学思维中的“关联”,能选择、应用和转换数学的表征,灵活转换命题以解决问题,这就训练了他们的联结与表征能力。
此外,学生的数学交流及形式化表达的能力也被不断地训练与提高,因为他们要清楚呈现自己的数学想法或解题过程,也需要在与老师、同学的交流中吸收、分析、评价他人的数学想法和解题策略。
更重要的是,数学竞赛提供了大量的“问题解决”的训练素材,这些题目往往不能简单地套用课本的公式或定理完成求解,而是需要一定的数学洞察力与创造性思维。正如华罗庚教授所指出的,“数学竞赛的性质和学校中的考试是不同的,和大学的入学考试也是不同的,我们的要求是,参加竞赛的同学不但会代公式,会用定理,而且更重要的,是能够灵活地掌握已知的原则,和利用这些原则去解决问题的能力,甚至创造出新的方法、新的原则去解决问题。这样的要求,可以很正确地考验和锻炼同学们的数学才能。”
数学开放题,解法往往超出命题者预想
“数学开放题”(Open Ended Problems)是涉及解题创造性的另一大课题。这一课题最先从日本引进,在戴再平教授的倡导下,我国的数学开放题教学获得了丰富的理论成果。
粗略地说,数学开放题就是答案不唯一的题。一般的中学数学题只有唯一的正确答案,从解法多样的角度讲,即便是“一题多解”,往往也只有为数不多的几种易于想到的解法。然而,在越高层次的数学竞赛中,越有可能出现“解法开放”的现象——这些解法往往超出命题者的预想。
比如,在2013年全国高中数学联赛加试的4道题中,有3道的解答过程事后得到了简化;在2014年的国家集训队中,主试委员会经过阅卷,发现了不少漂亮解法,另有几题的预设解答亦得到了简化,这些题占总数的一半以上;在2014年东南地区数学奥林匹克中,一位选手在最难的一道赛题中获得了简明解法,将原解法缩短了一半,超出主试委员会所有专家的预计。这并不奇怪,据记载,在1980年芬兰、英国、匈牙利、瑞典举行的四国联合竞赛中,有一道题目的解法相当繁琐,前后用了四次数学归纳法,译成中文约有4000字,后来我国的专家给出了一些简单的解法,均只需十余行字,但其代数变形的隐蔽性很强,十分不易发现。
在历届IMO中,对于那些得到特别漂亮的解法和非平凡的推广的选手,主试委员会会颁发特别奖。至今为止,特别奖已授予了40多名选手。
可以十分肯定地说,许多被研究和讨论过的竞赛题仍具有高度的“解法开放性”,在新的求解者的“攻击”下,还可能发现其他解法,或引出新的不平凡的问题。
同时,数学竞赛中还有大量的探究性问题,在面对这些问题时,学生的目标是不确定的,无现成的模式可套用,求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。
因此,尽管数学竞赛题与数学开放题在内涵上有所不同,但在培养资优学生的创造能力方面,利用好数学竞赛题,完全能够高质量地达成数学开放题教学的一部分功效。
始终保持对数学的兴趣比竞赛得奖更重要
关于数学竞赛“全民化”,我国学者持有多种见解。有人提出数学竞赛教育应面向全体中学生,使学生感受灵活的思维方式,受到解题艺术的熏陶。也有人认为,数学竞赛是适合少数人(例如5%的人)的活动,应当控制影响面。其实,正如体育运动一样,全民运动是为了强身健体,而专业运动员则要求有成绩的突破。同样地,从数学普及功能而言,数学竞赛题完全可以面向广大中小学生;但从发现和选拔人才的角度而言,数学竞赛的确只适合于有浓厚兴趣和较强数学能力的少数学生。如果强求大多数学生投入到高水平的数学竞赛训练中,是违反教育规律的。
关于数学竞赛“低龄化”,其实在历届IMO中不乏低年级学生获奖的情况,例如菲尔兹奖得主陶哲轩(Terence Tao)在12岁时就获得了IMO金牌。开展数学竞赛有利于发现这种极个别的超常儿童的数学天分。然而过度低龄化也将带来弊端,如柯尔莫戈洛夫指出“那些在五、六年级时参加过解题竞赛的男孩和女孩们,到了高年级之后,其中的大多数人都会失去他们的解题本领,甚至失去对数学的兴趣。”因此,如何让超常学生发展数学能力的同时,始终保持对数学的兴趣,是开展数学竞赛活动时必须考虑的。
文章来源:《应用数学学报》 网址: http://www.yysxxbzz.cn/zonghexinwen/2021/0815/1160.html