为“数学大统一理论”搭建桥梁的数学家(2)
在你的事业中,所谓“进展”是什么意思呢?
我和同事们所做的工作,就是在不同数学分支间搭起桥梁——具体来说,桥的一边是Galois 群与Galois表示,另一边是模形式与其推广。
我们从Galois群说起。比方说 x2-3=0这个多项式方程,它的解,或者说根,是
和
。显然,这两个数字是关于y轴对称的。所谓Galois群并不是多项式方程根的群,而是根的对称群。
而如果考虑次数为5的多项式(次数指最高次项次数,比如x5或y5),这时方程就变得非常复杂,其 Galois 群也变得复杂。Galois表示可以用来简化问题,这时我们就不必研究整个Galois群,只需要观察它的某些部分,或者说截面。就像是取3维物体的2维截面一样;虽然截面并不包含所有原始信息,但很多时候也够用了。
那桥的另一边呢?
模形式是一种高度对称,定义在上半复平面上的函数,其中我们用x轴代表实数,y轴代表虚数(也就是
的倍数)。我们只考虑性质“良好”或者说光滑的函数,也就是指函数不会跳跃,也没有尖突。也可以说函数是可导的。
我们可以把上半复平面分成小区域,或者说“瓦片”。而由于对称性,我们只需要知道其中一个瓦片上的函数值,就可以知道所有值。接着,我们可以取无穷多个瓦片,并把相邻的粘在一起,这样就产生了一个曲面,我们称为模曲线。
即便这些都是完全不同的概念,也能通过 Langlands 纲领来说明他们的等价性?
没错,连接模形式(属于分析)与Galois 表示(属于数论与算数几何)的桥梁,最初建立于上世纪 70 年代,从那时开始,研究人员就一直在加固这座桥。
在Langlands对应中,我觉得最神奇的莫过于:你可以用完全不同的方法,分别在模形式和Galois两边得到同样一串数字。你要做的,基本上就是把模形式——也就是那些高度对称的函数——分解为正弦函数和余弦函数。这样你就能得到三角函数的系数。而对于Galois这边,你只需要数一下多项式方程的根的个数。
能在实际计算中观察到这种现象,即便对我来说,也非常震惊。因为要真正建立这样的联系,得用到比这多得多的数学对象。
“我和同事们所做的工作,就是在不同数学分支间搭起桥梁。”图片来源:Philipp Ammon/Quanta Magazine
来回的两个方向需要不同的桥吗?
的确是这样。第一座桥是单向通道。如果你想从 Galois表示这边开始,往模形式那边走,就可以使用Taylor-Wiles方法,这个方法最早是用来证明费马大定理的。现在我们已经能双向行走了。
为什么要这样大费周章?通过这些桥梁还能让你们做些什么?
建立这些关系,展示不同数学之间的共同点,能带来智力方面的满足。当然,它也是有实用价值的。对于某些数学问题来说,在桥的一边会比另外一边更容易解决。面对一个很难的数学问题,我们经常需要在其中一边做一些研究,然后再到另一边做更多工作。为了证明某些命题,你可能需要来回过桥,这样你就必须得能在两个方向上自由穿行。
在这个领域中,一个重要的目标是要在更一般的条件下造桥。这样我们就能让Langlands 纲领的研究范围不断扩张。
在造桥过程中,你做出了什么贡献呢?
数学家们已经意识到Taylor-Wiles方法对局限性:它针对2维情况效果良好,但在3维就失效了。2012年,Frank Calegari和David Geraghty想到了一个改进方法,以适用 3 维情况。然而他们表示,要让这个方法起作用,首先得解决他们提出的三个猜想。
我的同事Peter Scholze在2013年解决了第一个猜想;这个猜想建立了第一座桥——从模形式到Galois,这座桥远比原来的2维情况要宽的多,这样才能与3维情况下出现的新现象相容。
在2015年年底,Sholze 和我意识到,我们最近的工作可以用来解决第二个猜想,要是这个猜想得到证实,就能精确控制这座桥着陆的位置。虽然这个方法失败了,但是我们又想出了很有希望的新方法。这时,Taylor建议我们在普林斯顿高等研究院(IAS)组织一场研讨会来完善我们的工作,想办法解决第二个猜想。
虽然Caraiani不认为Langlands纲领最终能解释数学中的一切,但她觉得有一天它可能会连接起数学的所有领域丨图片来源:Philipp Ammon/Quanta Magazine
文章来源:《应用数学学报》 网址: http://www.yysxxbzz.cn/zonghexinwen/2022/0226/1594.html