一道中考数学试题的多解比较(2)
解释?上述方案中,根据经过点B画一条垂直于y轴的直线,将△ABO分成两个三角形△ABD和△BOD,这两个三角形有一个公共边BD。实际上,如图7所示,我们也可以交叉点A,使AF⊥x轴在F点,BD在E点,则EF=OC。所以S△ABO=S△ABD+S△BOD=。即S△ABO==15。
图7
其实笔者认为解5和解6都是除以△ABO得到的。解决问题时产生的计算复杂且难以理解。最好用A点和B点的坐标结合形状互补法。得到的解决方案 1 和解决方案 2 很简单。实践带来真正的知识,数学问题的解决方案也是如此。
解决方案7?如图8所示,通过点B使BC∥OA。设直线BC的解析式为y=-2x+b,并通过点(-8, 1),容易求b =-15,所以我们可以得到线 BC:y=-2x-15。 BC 线和 x 轴的交点是 (-7.5, 0)。所以S△AOB=S△AOC==15。
图8
解8?同理,如图9所示,如果AC∥OB经过A点,则AC线的解析表达式为y=+b,由于AC经过点(-2, 4),我们可以得到直线AC是y=,它与y轴的交点是。进一步求解为S△AOB=S△BOC。
图9
说明?解8中,直线OB的解析题没有直接给出,需要学生自己解,比解7稍微复杂一些,有兴趣的读者可以自行完成计算。
< p>解决方案 9?由直线AB的解析式y=+5得到kAB=,由直线OA的解析式y=-2x得到kOA=-2。因为kAB·kOA=-2× =-1,所以 OA⊥AB。所以△OAB是直角三角形。经过计算,OA=,AB=,所以S△ABO==15。
说明?由直线AB和直线OA的解析公式可知,根据解析几何知识,可得kAB·kOA=-2×=-1: 若直线l1的解析公式为y=k1x+b1,则解析公式为第l2行的y=k2x+b2,同时k1、k2存在且k1k2≠0,则k1=。可以看出△ABO是一个直角三角形,因此可以直接计算出这个三角形的面积。但是,这种情况比图形信息更隐蔽,不容易被发现。
另外,在函数与几何的综合问题中,两条直线平行或垂直的问题是常见的问题。在项目复习的第三年过程中,教师可以结合学生的实际情况,在不增加学生学习负担的情况下,向考生介绍部分解析几何的内容,引导学生练习解题,这就是也是一种值得推广的方法。有了上面的公式,同学们又会遇到垂直和平行的问题,应用上面的公式可以顺利简洁地解决“直线”问题。
查看以上方案,可以发现方案1到4采用了“互补”的方式,通过使用显式的已知条件,将想要的图形“转化”为一个特殊的容易求面积的图形,然后用大图形减去相应的小图形得到解。这种方法选择的条件信息最直观,计算也比较简单,计算量略少。有区别,其中包含的重要数学思想是??“约简”的思想。解5、6对学生的数学能力要求较高,需要利用已知条件将这个三角形合理“分”出来,然后利用被分图形的面积。求和求解:例如,可以使用平行于x轴的辅助线进行水平分割,或者使用平行于y轴的辅助线进行纵向分割;再比如,可以通过A点分割辅助线,也可以通过B点分割辅助线。当然,学生也需要理解平面中平行于坐标轴的直线上两点间距离的公式AB=或CD=。解 7 和 8 主要采用变换思路,通过在△ABO 的一侧做一条平行线,将原三角形问题变换为边落在坐标轴上的三角形的面积。这种方法对学生的能力要求较高。它需要综合考虑函数的解析公式、几何图形之间的关系以及坐标的使用。只有有更高的位置才能实现这种解决方案是一种突破。在上述方案中,方案9很好地利用了隐含条件kAB·kOA=-1,这是一个特殊的方案,并不通用。
文章来源:《应用数学学报》 网址: http://www.yysxxbzz.cn/zonghexinwen/2021/0722/1061.html