量子力学的本质,测量和自旋的数学原理(2)
自旋总是根据一个特定的方向来测量。通常是z方向。接下来,每当我说“向上/向下任意方向旋转”或“自旋z+/-”,我的意思是自旋的数值是+/- ?/2。
这些结果已经足够令人震惊了,但当我们开始把斯特恩-格拉赫的仪器按顺序排列时,事情就变得更有趣了。我们先从测量两次z方向的旋转开始。
我们将1000个电子放入第一个仪器中,测量它们在z方向上的自旋,然后把自旋向上的电子送到上面的仪器,把自旋向下的电子送到下面的仪器。我们确保了样品中电子的状态是均匀分布的,因此对任何特定的自旋状态都没有净偏转。在最初的实验中,这是通过使用非常热的银原子蒸汽来完成的,高温的热效应消除了样品中任何可能的偏差。
在进行了大量的实验后,其结果直观上是我们所期望的。一半的电子自旋向上,一半自旋向下。此外,第二次测量自旋的z分量并不会改变自旋的状态,这也符合我们经典的预期。
现在我们来测量z分量和x分量。
左边的装置的效果是,准备两束电子,一束电子都自旋z+,另一束电子都自旋z-。我们发现,这对x方向的自旋分量没有任何影响。这可能看起来很可疑,但它似乎并没有立即与我们的古典直觉相冲突。
现在我们来看看测量z分量会发生什么,然后是x分量,然后再次是z分量。
当我们在测量了x分量后,沿着z方向测量自旋分量时,我们看到电子似乎“忘记”了它之前自旋z分量的值。沿着一个轴反复测量自旋并不会改变结果,但当我们试图在另一个轴上测量时,准备好的状态就被破坏了。
当这种情况发生时,我们说在z方向的自旋分量和在x方向的自旋分量是不相容的可观测值,即不可能同时知道它们的值。如果我们知道一个电子自旋为z+或z-,那么我们所能说的关于x分量的测量将以50/50的概率返回自旋为x+或x-。
我们如何将这些想法形式化呢?
量子系统
在经典力学中,一个系统是由它的广义坐标及其相关动量来表示的。例如,由一个质点沿着x轴运动所组成的系统的状态,可以由(x(t), p(t))完全确定,它告诉你任何时刻质点的位置和动量。
在量子力学中,一个系统由它的波函数来确定。对于连续量子系统,例如氢原子中的电子,波函数可以写成ψ(r, t),这个波函数绝对值的平方给出了t时刻在r点找到电子的概率。对于离散系统,例如电子的自旋,我们可以用ket向量来表示波函数:
对于其他方向的自旋,我们适当地包含一个下标x或y。当自旋被测量时,我们得到了自旋上升的概率为α2,自旋下降的概率为β2。我们说∣ψ?是所谓的基态∣+?和∣-?的叠加。
在状态∣ψ?下准备的系统将被测量为状态∣φ?的概率为|?φ∣ψ?|2。 ?ψ∣被称为bra向量。bra ?ψ∣被称为ket∣ψ?的偶向量。它是通过先对∣ψ?的列向量表示进行转置,然后对其元素进行复共轭得到的。例如:
如果一个系统存在∣ψ?,那么显然它处于∣ψ?概率为1的状态。因此|?ψ∣ψ?|2 ,从而 ψ∣ψ?=1。如果已知一个系统处于一种基态,那么它处于另一种基态的概率为零,因此 ,?+∣-? = ?-∣+? = 0。这两个合起来就构成了标准正交性。这就是上面的1/√2的由来,它被称为标准化常数,它保证了状态向量有单位大小。我们来看看它是怎么来的。给定∣ψ?= A(∣+?+ i∣-?)(上面列向量的ket向量形式),找到一个使∣ψ?被规范化的矩阵,即具有单位大小。
现在让我们做另一个例子来加深我们对方括号符号的熟悉。考虑状态∣ψ? = (4/5)∣+? + (3i/5)∣-?。沿z轴测量自旋分量的可能结果是什么?它们发生的概率是多少?
第一步通常是标准化状态向量,但你可以检查ket是否已经标准化,所以我们可以跳过这个。测量的可能结果是什么?自旋是量化的,它唯一可能的值是+?/2和-?/2。那么概率呢?我们用我们已经建立的算法。
文章来源:《应用数学学报》 网址: http://www.yysxxbzz.cn/zonghexinwen/2021/0720/1052.html